Uso de Singleton e Application customizado

Suponha que você tenha criado uma classe Livro, com o título, descrição, nome do autor e etc. Após isso tenha criado uma classe LivroControl que possuirá um ArrayList de Livros e que conterá os métodos necessários para o controle dessa lista de livros. Acontece que você deseja que essa lista seja única e acessível para toda a aplicação. O que você faz?

Os dois caminhos mais comuns são:
1) Instanciar um objeto LivroControl no método onCreate da classe Application
2) Usar o padrão Singleton

Caso 1: Instanciando LivroControl no Application

Application existe em todo aplicativo Android. É criado na abertura do aplicativo e, também possui um ciclo de vida, que é diferente de uma Activity. Mas, como vou alterar o meu Application?

Para alterá-lo é preciso criar uma classe filha e depois, basta sobrescrever o método onCreate, como no exemplo abaixo:

public class CustomApplication extends Application{

    private LivroControl livroControl;

    @Override
    public void onCreate() {
        super.onCreate();
        livroControl = new LivroControl();
    }

    public LivroControl getLivroControl() {
        return livroControl;
    }
}

Para usar esse CustomApplication no lugar do Application é necessário alterar um atributo xml chamado 'name' que está dentro da tag <application> do AndroidManifest.xml. Segue um exemplo:

    <application
        android:name=".application.CustomApplication"
        android:allowBackup="true"
        android:icon="@mipmap/ic_launcher"
        android:label="@string/app_name"
        android:supportsRtl="true"
        android:theme="@style/AppTheme">

        <activity android:name=".ui.activity.MainActivity">
            <intent-filter>
                <action android:name="android.intent.action.MAIN" />
                <category android:name="android.intent.category.LAUNCHER" />
            </intent-filter>
        </activity>
    </application>

Feito isso, é possível acessar a CustomApplication de qualquer lugar:

final CustomApplication customApplication = getCustomApplication();
List<Livro> listaLivros = customApplication.getLivroControl().retrieveLista();

Caso 2: Usando o padrão Singleton

No padrão Singleton, o construtor de LivroControl deverá ser privado. Portanto, não poderá ser instanciado por alguém fora da classe. Quem fará a única instanciação será um método chamado getInstance, que instanciará o LivroControl apenas uma única vez. O método getInstance deve ser estático e thread-safe. Segue o código de exemplo:

public final class LivroControl {
    private final List<Livro> listaLivro = new ArrayList<>();
    private static ItemControl INSTANCE;

    private ItemControl() { }

    public static synchronized ItemControl getInstance() {
        if (INSTANCE == null) {
            INSTANCE = new ItemControl();
        }
        return INSTANCE;
    }
}

Também é possível fazer esse mesmo Singleton usando Enumerações. Basta jogar todos os métodos de LivroControl para dentro de uma Enum e os métodos do LivroControl apenas acessarão os métodos do Enum. Veja o exemplo baixo:

public final class LivroControl {
    public void adicionarLivro(Livro livro) {
        ListaLivros.INSTANCE.adicionarLivro(livro);       
    }

    public enum ListaLivros {
        INSTANCE;

        private static List<Livro> listaLivro;
        static {
            listaLivro = new ArrayList<>();
        }

        private ListaLivros() { }

        public void adicionarLivro(Livro livro) {
            listaLivro.add(livro);
        }
    }
}

Recomendo a leitura desta discussão caso queira se aprofundar no uso de Enumerações em Singletons:
What is an efficient way to implement a singleton pattern in Java?